三角傅立叶级数系数​​的表达式

频率 $0,\omega_{0},2\omega_{0},3\omega_{0},....k\omega_{0}$的正弦和余弦项的无穷级数被称为三角傅立叶级数和可以写成，

$$\mathrm{ x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n \omega_{0} t… (1)}$$

这里，常数$a_{0}、a_{n}$和$b_{n}$被称为三角傅立叶级数系数。

评价一个₀

为了评估系数$a_{0}$，我们将在一个时期内对等式(1)两边积分，即，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T) }dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0 } t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_ {n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n }\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt... (2)}$$

正如我们所知，对于任何非零整数 n 和任何时间 $t_{0}$，完整周期内正弦曲线的净面积为零。所以，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_ {t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$

因此，从等式(2)，我们得到，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:dt=a_{0}T}$$

$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:dt... (3)}$$

使用等式(3)，我们可以得到傅立叶系数$a_{0}$的值。

对_{n 的}评估

为了评估傅立叶系数 $a_{n}$，将等式 (1) 的两边乘以 $cos\:m\omega_{0}t\:dt$，然后在一个周期内积分，即，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:cos\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^ {\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:cos(m\omega_{0} t)dt+ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:cos(m \omega_{0} t)dt… (4)}$$

当 m = n 时，则方程 (4) 中的第一和第三个积分等于 0，第二个积分等于 $\left(\frac{T}{2} \right)$。所以，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:cos\:m\omega_{0} t\:dt=a_{m}\left(\frac{ T}{2} \right)}$$

由于 m = n，

$$\mathrm{\therefore\:a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:cos\:n\omega_{ 0} t\:dt… (5)}$$

b _{n 的}评价

为了评估傅立叶系数 $b_{n}$，将等式 (1) 的两边乘以 $sin\:m\omega_{0} t$，然后在一个周期内积分，即，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:sin\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^ {\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:sin(m\omega_{0} t)dt+ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:sin(m \omega_{0} t)dt… (6)}$$

当 m = n 时，则方程 (6) 中的第一和第二积分等于 0，第三积分等于 $\left(\frac{T}{2} \right)$。所以，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:sin\:m\omega_{0} t\:dt=b_{m}\left(\frac{ T}{2}\right)}$$

由于 m = n，

$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)} x(t)\:sin\:n\omega_{ 0} t\:dt… (7)}$$