连续时间函数 $$的傅立叶变换x(t)可以定义为，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
和傅立叶变换的逆被定义为，
$$\mathrm{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d \omega}$$
陈述– 傅里叶变换的时间微分性质表明，函数在时域中的微分等价于其傅里叶变换乘以频域中的因子 $j\omega$。因此，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据时间微分性质，
$$\mathrm{\frac{d}{dt} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
证明
根据傅里叶逆变换的定义，我们有，
$$\mathrm{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega}$$
两边取时间微分，我们得到，
$$\mathrm{\frac{d}{dt} x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\ omega)e^{j\omega t} d\omega\right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt} x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d} {dt}[e^{j\omega t}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omega e^{ j\omega t}d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt} x(t)=j\omega \left [\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega )e^{j\omega t}d\omega \right ]=j\omega\cdot F^{-1}[X(\omega)]}$$
所以，
$$\mathrm{F\left [ \frac{d}{dt} x(t)\right ]=j\omega\cdot X(\omega)}$$
或者，也可以表示为，
$$\mathrm{\frac{d}{dt} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
一般来说，$n^{th}$阶微分的时间微分性质由下式给出，
$$\mathrm{\frac{d^{n}}{(dt)^{n}} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}(j\omega)^{n}\cdot X(\omega)}$$
利用傅里叶变换的时间微分性质，求出$\left [ X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}} \right]$的傅里叶逆变换
解决方案
给定的
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}}$$
单边指数函数的傅里叶变换定义为，
$$\mathrm{F[t\:e^{-at} u(t)]=\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}}$$
因此，对于给定的函数 (a=1)，我们有，
$$\mathrm{F[t\:e^{-t} u(t)]=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
让，
$$\mathrm{x_{1}(t)=t\:e^{-t} u(t)}$$
然后，
$$\mathrm{x_{1}(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
现在，利用x(t)傅立叶变换的时间微分性质 $[即\frac{d}{dt} \overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega \cdot X(\omega)] $，我们得到，
$$\mathrm{F\left [\frac{d}{dt}x_{1}(t)\right ]= j\omega \cdot X_{1}(\omega)}$$
因此，给定函数的逆傅立叶变换是，
$$\mathrm{F^{-1}[j\omega \cdot X_{1}(\omega)]=\frac{d}{dt}x_{1}(t)=\frac{d}{dt }[t\:e^{-t} u(t)]}$$