信号与系统——傅立叶变换的对偶性

傅里叶变换

对于连续时间函数x(t), 的傅立叶变换x(t)可以定义为

$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

连续时间傅里叶变换的对偶性

语句——如果一个函数x(t)有一个傅里叶变换X(ω)并且我们在时域中用傅里叶变换的函数形式形成一个新的函数X(t),那么它将有一个傅里叶变换X(ω)和原始函数形式时间函数,但它是频率的函数。

在数学上,CTFT 的对偶性质表明,如果

$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么,根据对偶性质,

$$\mathrm{ X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶逆变换的定义,我们有

$$\mathrm{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$

$$\mathrm{\Rightarrow 2\ =\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$pi.x(t)

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