连续时间傅立叶级数的乘法或调制特性

傅立叶级数

如果 $$x(t)是周期为 $T$的周期函数,则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为,

$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:... (1)}$$

其中,$C_{n}$是指数傅立叶级数系数,由下式给出,

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\: \:... (2)}$$

调制或乘法特性

设 $x_{1}(t)$和 $x_{2}(t)$两个周期信号,时间周期为 $T$,傅立叶级数系数为 $C_{n}$和 $D_{n}$。如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么,连续时间傅立叶级数的调制或乘法性质表明,

$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\: D_{nk}}$$

证明 

由连续时间傅立叶级数的定义,我们得到,

$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} [x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0 }+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{- jn\omega_{0} t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0 }+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(nk)\omega_{0} t}\right ) e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:... (3)}$$

通过重新排列方程(3)中的积分和求和的顺序,我们得到,

$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k}\left ( \frac{1 {T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)e^{-j(nk)\omega_{0} t}\:dt\right )= \sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{nk}}$$

在哪里,

$$\mathrm{D_{nk}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)e^{-j(nk) \omega_{0} t}\:dt}$$

所以,

$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{ nk}\:\:\:(Hence,\:Provided)}$$