在Bertrand的原始论文中，他解释了一种证明，该证明依赖于一般公式来实现实现递归关系的有利序列的数量。
假设有5名选民，其中3名候选人A投票，2名候选人B 2投票（所以p = 3和q = 2）。投票顺序有十种可能-
AAABB
阿巴巴
阿巴
银行
阿巴
阿巴巴
巴巴
阿巴
巴巴
BBAAA
对于命令AABAB，随着选举的进行，投票结果汇总如下：
| 候选人 | 一种 | 一种 | 乙 | 一种 | 乙 |
|---|---|---|---|---|---|
| 一种 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| 乙 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 |
对于每列，A的计数始终大于B的计数，因此A始终严格领先于B。对于AABBA而言，随着选举的进行，投票的计数如下：
| 候选人 | 一种 | 一种 | 乙 | 乙 | 一种 |
|---|---|---|---|---|---|
| 一种 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| 乙 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 |
关于此命令，B在第四次投票后与A并列，因此A并不总是严格地领先于B。在10个可能的命令中，仅在AAABB和AABAB的情况下，A总是在B之前。因此，A始终严格领先的概率为2/10 = 1/5，这确实等于定理所预测的3-2 / 3 + 2。