对于连续时间函数 $$x(t)，傅立叶变换可以定义为，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
Statement - 傅立叶变换的线性特性表明，两个信号的加权和的傅立叶变换等于它们各自傅立叶变换的加权和。
因此，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow }X_{2}(\omega)}$$
那么，根据傅里叶变换的线性特性，
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
其中，a和b是常数。
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有，
$$\mathrm{F[ x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1 }(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty }^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{ −\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
或者，也可以写成，
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
陈述– 傅立叶变换的频移特性表明，时域信号 $$乘以x(t)指数 $(e^{j \omega_{0} t })$会导致频谱偏移 $\omega_{0 }$。因此，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据频移特性，
$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t }\: x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有，
$$\mathrm{F[ x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=\int_{−\infty}^{\infty} e^{j \omega_{0 } t} x(t)e^{-j \omega_{0} t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty} x(t)e^{-j(\omega - \omega_{0})t}dt=X(\omega -\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=X(\omega-\omega_{0})}$$
或者，也可以表示为，
$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega-\omega_{0})}$$
相似地，
$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t} x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega + \omega_{0})}$$
使用傅里叶变换的线性和频移特性，找到 $[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]$的傅里叶变换。
解决方案
鉴于，
$$\mathrm{ x(t)=cos\:\omega_{0} t\: u(t)}$$
使用欧拉公式，我们可以写出，
$$\mathrm{cos\:\omega_{0} t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \右]}$$
$$\mathrm{\therefore\: x(t)=cos\:\omega_{0} t\: u(t)=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}。u(t)\右 ]}$$
现在，$$的傅立叶变换x(t)是，
$$\mathrm{F[ x(t)]=F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=F\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_ {0} t}}{2}。u(t)\右 ]}$$
使用线性属性 $[即，ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)]$，我们得到，
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}F[e^{j \omega_{0} t} u(t)]+\frac{1}{2 }F[e^{-j \omega_{0} t} u(t)]}$$
现在，使用傅立叶变换的频移属性 $[ie,e^{j\omega_{0}t } x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})]$，我们得到，
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}\{ F[ u(t)]\}_{\omega=(\omega-\omega_{0}) }+\frac{1}{2}\{ F[ u(t)]\}_{\omega=(\omega + \omega_{0})}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2} \left [\{ \pi\delta(\omega-\omega_{0} )+\frac{1}{j(\omega-\omega_{0})} \} +\{ \pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega+\ omega_{0})} \} \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\frac{1}{2}\left [\pi\delta (\omega-\omega_{0}) + \pi\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{2j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right ]}$$
因此，给定信号的傅里叶变换是，
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\: u(t)]=\left [\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi }{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}+(j\omega)^{2}}\right ]}$$