如果 $$x(t)是周期为 $T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}... (1)}$$
其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt... ( 2)}$$
如果 $$x(t)是一个周期函数，时间周期为 T，傅立叶级数系数 $C_{n}$。如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅里叶级数的时间微分性质表明
$$\mathrm{\frac{ dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$
由连续时间傅立叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}... (3)}$$
通过对等式(3)两边进行时间微分，我们有，
$$\mathrm{\frac{ dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0} t})}{ dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{ dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}(jn\omega_ {0})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{ dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{ 0} t}… (4)}$$
$$\mathrm{∵\: \sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{- 1}[jn\omega_{0}C_{n}]... (5)}$$
从等式(4)和(5)，我们得到，
$$\mathrm{\frac{ dx(t)}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}\:\:(Hence\:Proved)}$$
如果 $$x(t)是一个周期函数，时间周期为 T，傅立叶级数系数 $C_{n}$。那么，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅立叶级数的时间积分性质表明
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\ :C_{0}=0}$$
由连续时间傅立叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}... (6)}$$
通过对等式(6)两边的时间积分，我们有，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}x(τ)dτ=\int_{−\infty}^{t}\left [\sum_{n=−\infty}^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega_{0} τ}\right ]dτ}$$
重新排列积分和求和，我们得到，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\int_{−\infty}^{t }e^{jn\omega_{0} τ}dτ}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{ e^{jn\omega_{0} τ}}{jn\omega_{0}}\right ]_{−\infty}^{t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{ e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}}-\frac{e^{−\infty}}{jn\omega_{0} } \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left (\frac{ e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}} \right )=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{ jn\omega_{0}} \right )e^{jn\omega_{0} t}... (7)}$$
$$\mathrm{∵\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )e^{jn\omega_{0 } t}=FS^{-1}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )... (8)}$$
因此，从等式(7)和(8)，我们得到，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\ :C_{0}=0\:\:(Hence,\:Proved)}$$