如果 $$x(t)是周期为 $T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}... (1)}$$
其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt... ( 2)}$$
令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅立叶级数的时移性质表明
$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0} t_{0}}C_{n}}$$
证明
由连续时间傅里叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}…(3)}$$
将等式(3)中的 $(t−t_{0})$替换为 $t$，我们有，
$$\mathrm{x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t− t_{0}) }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{ 0}})e^{jn\omega_{0}t}… (4)}$$
$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{ 0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]... (5)}$$
从等式(4)和(5)，我们得到，
$$\mathrm{x(t− t_{0})\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}\:\:(因此，\ :\:证明)}$$
令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅立叶级数的时间反转性质表明
$$\mathrm{x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$
证明
从连续时间傅里叶级数的定义，我们有，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}... (6)}$$
将等式(6)中的 $t$替换为 $(−t)$，我们得到，
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} (-t)}... (7)}$$
将 $(n = −k)$代入方程 (7) 的 RHS，我们有，
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{-\infty}C_{-k}e^{j(-k)\omega_{0}(-t)}} $$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jk\omega_{0}t}... (8)} $$
现在，通过代入方程(8)中的 $(k= n)$，我们得到，
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_ {-n}]}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}\:\:(Hence\:proved)}$$
令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果
$$\mathrm{ x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅立叶级数的时间标度特性表明
$$\mathrm{ x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega_{0}\rightarrow\:a\omega_{0}}$$
证明
由连续时间傅里叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{ x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}... (9)}$$
用方程(9)中的 $(at)$替换 $t$，我们得到，
$$\mathrm{ x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} at}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\: x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn(a\omega_{0}) t}=FS^{-1 }[C_{n}]... (10)}$$
所以，
$$\mathrm{ x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega \rightarrow a\omega_{0}\:\:(Hence,\:\:proved)}$$